학교 수학에서 잘 설명해 주지 않는 것

서문

제1장. 왜 a(b+c)=ab+ac일까?

제2장. 삼각형, 사각형, 다각형 면적 공식의 유도

2-1. 직사각형의 면적
2-2. 평행사변형의 면적
2-3. 삼각형의 면적
2-4. 사다리꼴의 면적
2-5. 다각형의 면적

제3장. 삼각형과 다각형 내각의 합 공식의 유도

3-1. 삼각형 내각의 합
3-2. 사각형과 다각형 내각의 합

제4장. 평행선의 동위각끼리 같은 이유

4-1. 왜 평행선의 동위각들은 서로 같은가?
4-2. 유클리드 기하학의 공준
4-3. 왜 대우명제는 참일까?
4-4. 동위각의 성질로부터 파생되는 기하학의 기본적인 몇 가지 정리들

제5장. 삼각형의 합동조건이 왜 그런지 납득하기

5-1. SSS 합동조건
5-2. SAS 합동조건
5-3. ASA 합동조건
5-4. AAS 합동조건
5-5. HL (RHS) 합동조건
5-6. RHA 합동조건

제6장. 지수 공식의 유도와 이해

제7장. 삼각함수의 공식들이 둔각에서도 성립되는 원리

7-1. 중학교와 고등학교에서의 삼각함수 정의
7-2. 둔각 등 모든 각도에서 공식들이 성립하는 이유
7-3. 삼각함수의 기본적인 공식들에 대한 완전한 이해

제8장. 미분에 관해 확실하게 이해하기

8-1. 미분의 정의와 개념
8-2. 미분의 공식
8-3. 지수가 실수일 때 미분
8-4. 편미분과 전미분

제9장. 극대와 극소의 조건을 명확하게 이해하기

9-1. 함수의 극대와 극소
9-2. 다변수 함수의 극대와 극소

제10장. 적분에 대해 완벽하게 이해하기

10-1. 미분의 반대개념인 적분
10-2. 구분구적법으로 면적 구하기
10-3. 함수 아래의 면적을 구하는 공식에 대한 이해
10-4. 치환적분법과 부분적분법이 성립하는 이유

제11장. 행렬식에 관한 공식들의 유도

11-1. 행렬의 곱셈을 특이하게 하는 이유
11-2. 행렬의 곱셈의 성질이 성립하는 이유
11-3. 행렬식의 여러 성질들이 성립하는 원리
11-4. 라플라스 전개로 행렬식의 값이 구해지는 이유
11-5. 행렬식으로 삼각형과 평행사변형 면적을 구하는 원리
11-6. 역행렬 공식의 유도
11-7. 크래머의 법칙이 성립하는 원리

제12장. 적분에서 변환공식을 유도하기

12-1. 중적분에서 변수 변환공식의 유도
12-2. 원의 면적과 구의 부피 공식의 유도

제13장. 정규분포의 확률밀도함수 구하기

13-1. 연속분포에서 확률밀도함수의 의미
13-2. 정규분포의 확률밀도함수 유도

제14장. 수학에서 중요한 값들을 구하는 방법

14-1. 테일러급수
14-2. sin θ 와 cos θ 값 그리고 상수 e 값 구하기
14-3. π 값 구하기

제15장. 고등학교와 대학에서 연속함수의 조건을 다르게 표현하는 이유

15-1. 고등학교에서 하는 연속함수의 정의
15-2. 대학에서 하는 연속함수의 정의

제16장. 평균값 정리와 로피탈의 정리

16-1. 평균값 정리와 코시의 평균값 정리
16-2. 로피탈의 법칙
16-3. 로피탈 법칙의 증명

후기

중학교와 고등학교를 다니면서 수학의 공식들과 기본원리들이 왜 그렇게 되는지 확실하게 못 배운 채 그냥 암기식으로 넘어가는 경우가 종종 있다. 이 책은 그런 모든 것들에 대해 설명과 증명을 해 준다.

예를 들어, 평행선의 동위각들끼리 왜 같아야만 하는지, 삼각형 합동의 조건이 왜 동일한 삼각형임을 보장해 주는지, 삼각함수의 여러 공식들이 각도가 90도나 180를 초과하는 일반적인 경우에도 왜 성립하는지, 다항식에 대한 미분 공식이 지수가 정수가 아닌 실수일 때는 왜 성립하는지, 적분을 하면 왜 면적이 나오는지, 행렬에 관한 여러 성질들과 공식들이 왜 성립하는지, 정규분포의 확률밀도함수는 대체 어떻게 유도되었는지, 로피탈의 법칙이 왜 성립하는지 등등.

이 책은 많은 사람들이 궁금해하던 수학 공식과 내용에 대해 수업 시간이나 교재에서 충분히 설명해 주지 않은 부분들을 망라해서 최대한 직관적으로 잘 이해할 수 있도록 돕는 책이다. 이런 책이 내가 학창시절에 있었다면 너무 좋았을 거라는 생각이 든다. 그렇게 시원한 곳을 긁어주는 책은 국내는 물론 전 세계 어디를 봐도 없었고 지금도 없는 것 같다. 이 책은 많은 사람들의 해갈되지 않았던 수학에 대한 근본적인 갈증을 충분히 해소시켜 주는 책이 될 것 같다.

이 책은 기존의 수업이나 교과서의 내용들을 완전히 대체하려는 것이 아니라, 원리나 증명과정에 대한 충분한 설명이 누락된 부분들을 모두 메워주고 보충해 주는 것이 목적이다. 이 책은 주로 고등학생들이나 중고교 교사들이 보면 좋을 것이다. 수학에 강한 흥미가 있는 상위권 중학생들이 봐도 괜찮다. 또한 이미 학교를 졸업했지만, 수학의 원리에 대한 이해가 불충분 했었던 성인들이 이 책을 보고 모든 원리들을 깨우치게 되는 시간이 되어도 좋을 것이다. 그러면 자신의 지적 훈련을 위해서도 좋고, 나중에 필요한 사람에게 한 수 지도해 줄 수도 있을 것이다. 이 책의 내용들은 전부 익혀도 좋지만, 각자의 필요에 따라 필요한 부분들만 추려서 읽어도 상관없다.

이제는 누구든지 수포자가 될 필요가 없다. 누구나 수학의 근본원리들을 잘 깨달아 수학이 재미있어지고, 수학을 잘 하게 되고, 수학을 즐길 수 있게 되면 참 좋을 것 같다.